以 $m$ 代表車子的重量，代表車子能開的距離，以 $ï¼v$ 代表用掉的油量，以 代表這車款的油耗，越省油的車可以開越遠載越重，因為這幾個數字有一個關係：

$ï¼m \cdot L = A \cdot v$

問題一．一個1000公斤的車一公升汽油能夠開10公里，則載重100公斤打算開500公里得加多少油？ Ans: 因為 $1000 \cdot 10 = A \cdot 1$，所以此車的 $A$ 是10000，所以 $(1000+100) \cdot 500 = 10000 \cdot v$，所以需要的油 $v$ 等於55公升

但是把油加滿開車載著油是一件不太聰明的事，就像爬山原本不會那麼渴但是背太多的水卻會讓爬山變得很累很渴．上面這個式子是當重量都沒變的時候才成立，所以當考慮燃料也是有重量的時候，問題就變得有趣了．

以 $m_t, L_t ,v_t$ 表示在時刻t時候的車子和人員貨物和油的重量、已經開的距離、已經用掉的油．則一個很短瞬間的微分關係式是：

$m_t \cdot d L_t = A \cdot d v_t$

以 $V , s , m$ 表示開始時候的油量、油的比重、除了油以外的人車貨物重量，所以有：

$m_t = m + s \cdot ( V - v_t )$

因此

$m + s \cdot V - v_t \cdot d L_t = A \cdot d v_t$

解這個微分方程得到：

$L_t = \frac{A}{s} \ln\left(\frac{m + s V}{m + s( V - v_t )}\right)$

因此 $V$ 公升的油能開的距離 $L$ 是

$L = \frac{A}{s} \ln(1 + \frac{s V}{m})$

人們加了 $V$ 公升的汽油開車感興趣的是把 $m$ 移動 $L$ 的距離而非移動汽油，因此這裡可以定義一個開車效率 $e$：

$e \equiv \frac{m L}{A V}$

這個數字根據定義一定會小於等於1．把 $L$ 代入所以得到：

$e = \frac{m}{s V} \ln(1 + \frac{s V}{m})$

問題二：要準備加多少油才能讓開車效率最大呢？ Ans: 定義一個沒衡量單位的數字：

$x \equiv \frac{s V}{m}$

去google畫個圖

$e = \frac{1}{x} \ln(1 + x)$

在google查詢輸入 1/x ln(1+x)，只看 $x$ 大於等於零的部分．得到這個圖：

所以要能讓開車效率最高，答案是油箱的油越少越好；最好是完全不用在油箱準備油就有辦法能夠隨時隨地拿到油．方法是：

1. 請個挑夫幫忙背水，渴的時候去喝挑夫背的水 2. 到處都是加油站，油到處隨手可得

例如，這種鳥和這種飛機都沒有準備太多的燃料在燃料箱就可以飛的又久又遠：

古人說吃飯吃七分飽，其實開車也一樣，油箱從來不用太滿．尤其加油站密度頗高的都會區，油箱的油可以很少．更是用不著動不動聽到油下周要漲價就加滿油，因為長期平均下來不可能一個較浪費真實資源的行為竟然可以省更多錢．

但是不是到處都是加油站，這就是油箱需要存在的基本原因．假設想要加油的時候開始去找加油站的距離都是 $F$，因為最後油快沒的時候都要留點油至少能撐到加油站，而這段路程也是不感興趣的，所以開車效率 $e$ 的定義是：

$e \equiv \frac{m ( L - F )}{A V}$

把該代入的代入，定義一些沒有衡量單位的純量符號，所以

$\begin{aligned}x \equiv \frac{s V}{m}\\g \equiv \frac{s F}{A}\\e = \frac{1}{x} \ln(1 + x) - \frac{g}{x}\end{aligned}$

問題三：不是到處都是加油站，要準備加多少油才能讓開車效率最大呢？ Ans: 解個實際例子．$A$ 的資料可以問廠商或是查 (http://www.fueleconomy.gov/feg/findacar.shtml) ，某個車的 $A$ 是每公升19196.4 公斤公里，汽油的比重是每公升0.737公斤，加油站在4.8公里之外，所以 $g$ 是 $1.84285 \times 10^{-4}$，丟進google畫圖得到

最高開車效率出現在 $x$ 等於 0.0191．因為

$x \equiv \frac{s V}{m}$

所以應該加的油量 $V$ 是

$V = \frac{0.0191}{0.737} m = 0.025916 m$

假設空車加人加貨是 800 公斤，所以該加 20.7 公升的油．除非算出來的 $V$ 比油箱的容量還大，否則不該加滿油．

問題四：既然不總是該是加滿油，那下周油價要大漲該怎麼辦？ Ans: 拿一些空的油桶去加油站加，然後把油桶放在車庫備用．