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每個人都有偏好，有人喜歡香蕉甚於蘋果，有人喜歡蘋果甚於香蕉。隨著時間不同或年歲漸長，偏好當然可以變化但是在任何一個特定時刻，每個人都可以明確地有個偏好。在給定眾人的偏好可以南轅北轍這個事實之下，政治制度主要是為了解決如何整合出整體偏好的問題。例如考慮一個社會應不應該容許同性婚姻，在"求神問卜制"之下的做法是做兩個簽然後隨機看是中哪個簽，"求神問卜制"的壞處是即使每個人的偏好都沒變，抽第二次簽有很大的可能性會有不同的結果。在"獨裁制"(dictator)之下，某個皇帝的偏好說的算，這種制度的壞處是如果絕大多數人持相反的偏好難保大家不會陽奉陰違損失社會效率或是想要搞革命。 以下是住在實行民主制的生物該知道的數學，如果喜歡求神問卜或是獨裁的人可以不用知道。如果實行民主卻又不知道這些數學，社會可能會陷於混亂或是被人玩弄而不自知。在這估且略過數學証明而改用一些事例來說明，但是這只是方便說明数學的抽象本質（如果讀懂背後的數學證明，宇宙中任何偏好的生物都會同意）的一個手段，不是對該事例的批判（不同偏好的人可能會有不同的批判）。 選舉我們希望一個不是求神問卜制的整合社會偏好的方法該滿足那些條件呢？ 條件一沒限定每個人偏好的可能性，因為就如同一開始提到的眾人偏好可以南轅北轍幾乎是不能避免的事實，或是說，如果限定每個人的偏好，例如，限定每個人的偏好都一樣，那用獨裁制和民主制去整合社會偏好都是一樣的結果，也沒什麼好研究討論的。 條件二一個人可以很容易跟別人說喜歡香蕉甚於蘋果，但是很難跟別人說有多麼喜歡香蕉甚於蘋果。既然每個人"有多偏好"是難以測量的數字，所以一個整合社會偏好的方法應該只根據個人對偏好的排名。 條件三偏好要有遞移性(transitivity)，也就是如果一個人喜歡香蕉甚於蘋果而且喜歡蘋果甚於芭樂那他一定喜歡香蕉甚於芭樂。這算是理性的基本要求，因為如果實在區分不出這三種水果的偏好，大可以宣稱對這三種水果偏好一樣(indifferent)，不會是違反遞移性。違反遞移性已經算是一種發瘋，一個整合的社會結果偏好應該也是如此，如果社會覺得核電廠比火力發電廠好（因為沒空氣污染）而且又覺得火力發電廠比太陽能發電廠好（因為發電穩定）而且又覺得太陽能發電廠比核電廠好（因為不會有核災），很難想像社會到底該不該蓋核電廠。 條件四偏好應該要有獨立性(binary independence)，意思是如果一個人覺得蘇菲瑪索比奧黛麗赫本美，那不管覺得林志玲多美或多醜或甚至林志玲有沒有出生，都不會覺得奧黛麗赫本比蘇菲瑪索美。一個社會偏好應該也如此，而且如果每個人對蘇菲瑪索和奧黛麗赫本的偏好都沒變，這個社會關於蘇菲瑪索和奧黛麗赫本的偏好也沒變，不管林志玲多美或多醜或有沒有出生。 條件五如果每個人都覺得蘇菲瑪索比奧黛麗赫本美，那麼這個方法決定出的社會偏好應該也覺得蘇菲瑪索比奧黛麗赫本美。 條件六沒有獨裁者。這個社會的偏好沒有和某個人的偏好一模一樣。 Arrow's Theorem只要至少有三個偏好要整合，我們這個希望是個奢望。也就是說，任何整合社會偏好的方法這六個條件只要其中五個滿足，那剩下的一個一定會違反。 所以為了得到一個社會總和偏好去辦事，宇宙各地從古至今到處都有這些故事：
所以，關於＂社會的決定＂，不用熱血也不用浪漫，也不是總是吆喝一句話然後追問＂著毋著＂就結束，其實只是看想要違反這六條裡面的哪一條而已。有些人常以為喜歡香蕉甚於蘋果就是喜歡香蕉甚於蘋果，別人如果質問到底有多喜歡還會白眼反問"這是我的人權要你管!"，其實這個白眼反問是太浪漫而且不理性的；這樣的回答等於是否定去違反條件二的可能性，因為條件二的意義在於不單純只用偏好的順序整數，而讓社會可以去加總某種數字；整數到整數的函數總是很容易不連續，而一旦不連續的跳來跳去就是有怪事的時候。這個強調"這是我的人權要你管!"的人既然拒絕了違反條件二，可能就正在把世界推向某個他最終不會樂意見到的方向。 關於傳統多數決這個常用的方法會遇到的問題，上面就已經看到兩個惱人的可能性，所以選舉制度應該是要修改的，而且看來只能往放棄條件二的方向修改，比如Borda Count（第一名1.0，第二名0.9，如此遞減下去，社會偏好就是每個候選人拿到的分數）或"每人最多一塊錢制"（每個選舉人根據喜好給候選人零到一塊錢，社會偏好就是每個候選人拿到的錢）。事實上當Arrow在證明了他這個得諾貝爾獎的定理之後，晚年也認為放棄條件二，放棄只在乎順序的ordinal utility而採用cardinal utility是必須的。在採用比較好的方法之前，如果有人嘲笑民主像肥皂劇或是宣稱如果自己當選就會接受選舉結果之類的，是可以預期的。 問題一一個社會打算蓋一個發電廠，有三種發電廠ABC可供選擇。有三分之一的民眾的偏好是A>B>C，有三分之一的民眾的偏好是B>C>A，有三分之一的民眾的偏好是C>A>B，社會偏好決定的方法是相對多數決。身為一個掌握媒體而且偏好C發電廠的意見領袖，該如何操弄讓社會選擇C？ Ans： 首先拿大聲公問"Ａ和B這兩種發電廠，大家都喜歡A，著毋著？"，然後的確有多數的人喊＂著＂，然後又拿大聲公問"那麼，C和A這兩種發電廠，大家都喜歡C，著毋著？"，然後的確有多數的人喊＂著＂，後又拿大聲公問"所以，大家都喜歡C，著毋著？"，然後渾身熱血腦袋缺血的情況下，台下就跟說＂著＂了。 問題二在上述"違反條件四"的選總裁問題裏，如何改用"違反條件二"去避免D突然掛掉或突然出現會導致社會的偏好突然反轉的現象？ Ans： 以使用"每人最多一塊錢制"為例，選舉人先忘掉選舉，專心做評價的問題，加總全部選舉人的結果拿到最高數字的候選人當選總裁。 所以D突然掛掉有兩種情形，(1)D拿到最多錢，ABC之中的某個人拿到第二多錢，(2)ABC之中的某個人拿到最多錢，D沒拿到最多錢。如果是(1)，就把第二多錢的人當選總裁，如果是(2)，D掛了之後把D拿到的錢燒了或是拿去辦D的喪禮，不管哪種情形社會的偏好都没變，一直都是（還活著的）拿到最多錢的的候選人當選總裁。 至於D突然出現，會有問題的狀況是如果選舉人已經給了某個候選人，例如是A，最高數字一塊錢，但又喜歡D甚於A，就不得不違背自己意志地對社會說一樣喜歡D和A。因此除非把那個"最多一塊錢"的限制丟掉，否則無解。但沒有限制的話選舉人又會亂喊數字，除非這錢是真錢，於是就變成"違反條件二"裡提到的用錢去投票了；從這個觀點來看，Arrow's Theorem等於是在說均富對民主的重要性。 Sen's Theorem如果每個人的偏好都滿足遞移性，而且社會偏好滿足遞移性，而且如果每個人喜歡A甚於B那社會決定也是喜歡A甚於B，則最多只能有一個偏好pair有某個人能完全代表社會決定決定這個pair的順序。 這就是俗語說為什麼廚房裡不能有兩個女人，因為這兩個女人分別對某兩個偏好pair想要主導代表廚房的決定，所以結果導致要嘛廚房的偏好沒有遞移性，要嘛廚房的偏好會使用一個兩個女人都覺得沒有比較好的食材或料理方法或出菜順序。 政策決定N個委員會的委員要決定出社會的最低工資的數字，每個委員心目中都有一個希望的數字，如果社會結論的數字就是心目中的數字那當然最高興，但是即使不是心目中的數字，越接近也越高興。把每個委員的位置根據他心目的數字標在一個數線上，這就是所謂plot diagram（高維度的plot diagram沒辦法畫在紙上）。例如下面這個一維plot diagram圖，N=4，有四個委員，決定方法使用多數決：
問題三最後定案的最低工資會落在數線上哪裡？ Ans： 如果落在D右邊，D可以提案D自己的點，這兩個點一經多數決，一定有4票選D，所以這個在D右邊的提案一定會被D心目中的政策打敗。如果落在ＣD中間，Ｃ可以提案Ｃ自己的點，這兩個點一經多數決，一定有3票選C，所以這個在CD中間的提案一定會被C心目中的政策打敗。類似的推理，所以最後能出委員會大門的政策一定是BC之間的政策。雖然委員會結論有點偏左。 所謂q-rule的決定，意思是只要有q票就通過。一般的多數決只要超過半數就通過，所以是50%+1-rule。有些投票的門檻比較高，例如，一群主教選教宗是60%+1-rule。上述最低工資委員會的決定方式是3-rule也是50%+1-rule。所謂core的定義是那些不能被任意委員聯合起來打敗的政策。上述BC之間的點就是3-rule之下的core。 問題四發電廠政策有兩個維度，一個是發一度電要多少錢，另一個是發一度電會排多少碳。發電政策委員會要制定社會容許的發電廠的這兩個數字，有三個委員，決定方式是2-rule，分別心目中的政策點plot diagram如下圖：
請問core在哪？ Ans： 因為不管政策第一個版本的點落在哪，都可以有某兩個人可以聯合起來設定一個對這兩個人更好的點，然後這個第二個版本的點接著又會被另一個新的點打敗，如此一直revise下去，所以core不存在。不是幾何上看起來像是中心點的地方就是core。 core不存在又怎樣？這代表政策可能落在任何地方，政策隨著政治角力南轅北轍朝令夕改，雖然在過程中的每一次改版都是兩個政策相比多數決的"更好"，簡而言之，發瘋而且內耗的社會。 一個q-rule的core其實就是把任意q個點圍起來的區域都還能包含的區域。 問題五下面這兩個有兩個維度的政策的五個人的plot diagram，唯一的差別是中間這個人的點的位置，一個圖是在對角線交叉點另一個圖是向右邊移一點點。決定方式是3-rule，畫出這兩個圖分別的core。
Ans： 第一個圖任意取三個點圍起來的區域，倆倆交集，只剩下中間點，所以core只有中間點。第二個圖任意取三個點圍起來的區域，倆倆交集，沒剩下任何區域，所以沒有core。 Saari Theorem給定n個選舉人和q-rule，政策的維度不能比2q-n大，core才能穩定的存在，否則core即使存在也會因為選舉人在plot diagram的位置稍微移動而消失。 問題六如何當一個沒有政策偏好只Math for democracy想當意見領袖的政客？ Ans： 首先確定不包含自己的plot diagram有穩定的core，然後移動自己的立場到的那個core裡面，這時候在一個局部範圍內，整個政策完全由這個政客的位置決定。 問題七某個獨立公投的q-rule是60-rule，有100選舉人，一個政客想讓這個選舉的core消失，請問該怎麼做？ Ans： 把獨立視為一個政策空間裡面的一個點。根據Saari Theorem，這個政策考慮的維度不能超過20，所以這個政客只要想出21個爭議性的政策指標，把這些指標放進議事空間讓大家討論，所以政策空間是21維就可以讓core消失，難以結論出相關的政策。 就和選舉一樣，這些決定政策的投票也是整數，整數到整數的函數必然沒那麼穩定，導致決定的結果總是有些怪事。以上這些目前民主制度可能會發生的憾事其實主因都是人們沒辦法在選舉之前先忘記選舉做出評價再做選舉，而只是取巧的訴諸多數，導致每次從多數決觀點說是個改進卻未必從評價觀點來看是個改進。 人類實驗民主制度不到三百年，在"民主智慧”還不普偏或是尚未修改成比較好的民主制度之前，有些民主數學的知識去避免混亂或被利用或看穿某些把戲是有意義的。
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