把你的影子撒點鹽醃起來，風乾，老的時候下酒。

一般而言年紀越大會累積越多不堪回首的東西，例如年輕時候投資後來倒閉公司的股票，憤恨不平是難免，當然可以按鈴控告老闆，但是能拿回多少只有無語問蒼天；曾經價值不斐如今只能當壁紙。以下說明一個方法，可以根據這些不堪回首的圖片，一轉念，製造出精美的名符其實的壁紙，

所謂壁紙是指在兩個方向上不斷重複的某種圖案，數學上可以證明全宇宙的壁紙的對稱形式只有十七種。先看看其中一種根據兩張底圖和分別做出的壁紙：

廢紙：

壁紙：

廢紙：

壁紙：

壁紙上會有所有底圖細部的圖案，只是呈現上會平滑的變形。如果底圖的畫素夠高的話，壁紙上連那些字都會看得清楚。

基本上做法是這樣。把平面視為一個複數平面，所以一個點在平面上的位置就是一個複數。以 $z_1$ 代表底圖平面的位置的複數，以 $z$ 代表壁紙平面的位置的複數。給定一個複數到複數的函數，$z_1=wallpaper(z)$。把 $z_1$ 的顏色塗在 $z$ 上(如果 $z_1$ 超出底圖的邊界就把 $z$ 塗上黑色)，然後在這些對稱性限制之下去選擇符合這些對稱性限制的 $wallpaper$ 函數。

例如上面這個壁紙例子要求對實數軸和120度轉角對稱，所以隨便給定 $a(n,m)$ 這些複數，只要 $a(n,m)=a(m,n)$，任何 $wallpaper(z) = \sum_{n,m} { a(n,m) \cdot W(z, n, m) }$ 都有這樣的對稱。請參看這個程式：

using System; using System.Drawing; using JoshuaChen.Quant; namespace tester { class Program { static Bitmap oldmap, newmap; static Color bg = Color.Black; static Complex omega = new Complex(-0.5, Math.Sqrt(3) / 2); static double k1 = 2 / Math.Sqrt(3), k3, k4; static Complex k2 = 2 * Math.PI * Complex.I; static void z_to_XY(Complex z, out double X, out double Y) { // z = X * 1 + Y * omega Y = k1 * z.Im; X = z.Re + Y / 2; } static Complex E(double X, double Y, int n, int m) { // therefore the same evaluation for z + n * 1 or z + m * omega return Complex.Exp(k2 * (n * X + m * Y)); } static Complex W(double X, double Y, int n, int m) { // (E(z) + E(omega * z) + E(omega^2 * z))/3 ,therefore the same for 120 degree rotation return (E(X, Y, n, m) + E(X, Y, m, -n - m) + E(X, Y, -n - m, n)) / 3; } // x1,y1 are scaled between -0.5-0.5I ~ 0.5+0.5I static void z_to_x1y1(ref Complex z, out int x1, out int y1) { x1 = (int)((z.Re + 0.5) * oldmap.Width); y1 = (int)((z.Im + 0.5) * oldmap.Height); } // x,y are scaled between -1.5-1.5I ~ 1.5+1.5I static Complex xy_to_z(int x, int y) { Complex z = new Complex(); z.Re = -1.5 + x * k3; z.Im = -1.5 + y * k4; return z; } // static Complex a1 = new Complex(-0.125, 0.2), a2 = new Complex(0.225, -0.35); static Complex a1 = new Complex(-0.06, 0.1), a2 = new Complex(0.11, -0.17); // wallpaper function map -1.5-1.5I ~ 1.5+1.5I hopefully into -0.5-0.5I ~ 0.5+0.5I symmetrically static Complex wallpaper(Complex z) { double X, Y; z_to_XY(z, out X, out Y); return a1 * (W(X, Y, 2, 1) + W(X, Y, 1, 2)) + a2 * (W(X, Y, 3, 7) + W(X, Y, 7, 3)); } static void xy_to_x1y1(int x, int y, out int x1, out int y1) { Complex ans = wallpaper(xy_to_z(x,y)); z_to_x1y1(ref ans, out x1, out y1); } static void Main(string[] args) { string src = args[0], res = args[1]; oldmap = (Bitmap)Bitmap.FromFile(src); newmap = new Bitmap(3 * oldmap.Width, 3 * oldmap.Height); k3 = 3.0 / newmap.Width; k4 = 3.0 / newmap.Height; for (int x = 0; x \< newmap.Width; x++) { for (int y = 0; y \< newmap.Height; y++) { int x1, y1; xy_to_x1y1(x, y, out x1, out y1); Color c; if (x1 \>= 0 && x1 \< oldmap.Width && y1 \>= 0 && y1 \< oldmap.Height) { c = oldmap.GetPixel(x1, y1); } else { c = bg; } newmap.SetPixel(x, y, c); } } newmap.Save(res); } } }