Some Unitary. Quantum gates 的 matrix presentation 方式是配合傳統的量子力學符號 ${0}\rangle$ 和 ${1}\rangle$ 分別代表狀態一個 qbit 的 0 和 1，像是個行向量。以 Ry gate 為例，定義是：

$\begin{aligned}Ry({0}\rangle) &= \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) {0}\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) {1}\rangle\\Ry({1}\rangle) &= - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right){0}\rangle + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) {1}\rangle\end{aligned}$

所以配合矩陣 block 乘法的規則，不遷就 $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) {0}\rangle$ 是個 scalar product 到一個行向量，寫成矩陣是：

$\begin{bmatrix}Ry({0}\rangle)&Ry({1}\rangle)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{0}\rangle&{1}\rangle\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{bmatrix}$

一個變換 $A$ 不會混淆的時候也用 $A$ 表示變換的矩陣，和 "$A(v)$ 代表的意義是變換 $A$ 作用在 $v$ 的結果" 略有不同。所以 $\begin{bmatrix}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{bmatrix}$ 就是 Ry 矩陣。

$\begin{aligned}Ry(\alpha {0}\rangle + \beta {1}\rangle) &= Ry({0}\rangle)\alpha + Ry({1}\rangle)\beta = \begin{bmatrix}Ry({0}\rangle)&Ry({1}\rangle)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}{0}\rangle&{1}\rangle\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\end{aligned}$

也就是 $Ry(\alpha {0}\rangle + \beta {1}\rangle)$ 的關於 ${0}\rangle$ 和 ${1}\rangle$ 的係數可由計算 $Ry \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}$ 得到。

一個量子變換 $U$，作用到 base $b_1 \cdots b_n$ 成為另一組 base $c_1 \cdots c_n$ ：

$c_j = U(b_j) = \sum_i u_{i j} b_i$

寫成矩陣：

$\begin{bmatrix}U(b_1)&\cdots&U(b_n)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{11}&\cdots&u_{1 n}\\\vdots&&\vdots\\u_{n 1}&\cdots&u_{n n}\end{bmatrix}$

所以

$\overline{b_k}^T c_j = \overline{b_k}^T \sum_i u_{i j} b_i = \sum_i u_{i j} \overline{b_k}^T b_i = u_{k j}$

$b$ 是個向量，強調它是個行向量在右邊加一個右括號成為 ${b}\rangle$ ，定義任意兩個行向量 $q$ 和 $g$，$\langle{q}|g\rangle \equiv \overline{q}^T g$ 。所以 $\langle{q}$ 這個刻意加上左括號的定義是 $\overline{q}^T$ 。這個 braket 運算關於 $g$ 是線性，關於 $q$ 是 conjugate 線性，而且

$u_{k j} = \langle b_k | c_j \rangle$

一個疊加狀態 $\sum_i q_i b_i$ ，經過量子變換 $U$，

$\begin{aligned}U\left(\sum_i q_i b_i\right) &= \sum_i q_i U(b_i) \\&= \begin{bmatrix}U(b_1)&\cdots&U(b_n)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ \vdots \\q_n\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}b_1& \cdots &b_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{11}& \cdots &u_{1 n}\\ \vdots && \vdots \\u_{n 1}& \cdots &u_{n n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1 \\ \vdots \\q_n\end{bmatrix}\end{aligned}$

這個疊加狀態的係數，也就是在各 base 狀態的量子複數機率可由計算 $\begin{bmatrix}u_{11}& \cdots &u_{1 n}\\ \vdots && \vdots \\u_{n 1}& \cdots &u_{n n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1 \\ \vdots \\q_n\end{bmatrix}$ 來求得。小屁孩的雙狹縫實驗各問題裡面的 $a$ 就是這裡的 $\begin{bmatrix}q_1& \cdots &q_n\end{bmatrix}$ ，裡面的 $x$ 就是這裡的 $U^T$ 。braket運算就是在 base 狀態的投影。

兩個狀態 $q$ 和 $g$ 垂直的意思是，其中一個如果發生另一個就不會發生 。由此定義所以 base 裡面提到的狀態是兩兩互相垂直。測量某個狀態在某個 base 是否可能發生就是把這個狀態對應的 conjugate transpose 去乘上各個 base 的狀態，也就是 braket 運算 $\langle q | b_i \rangle$ 。確定的狀態 base 滿好理解， ${0}\rangle$ 代表確定在台中， ${1}\rangle$ 代表確定在台北，但是 base 的狀態也沒規定一定要是確定的狀態，例如，這個 base 的兩個狀態 $\frac{1}{\sqrt{2}} {0}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} {1}\rangle$ 和 $\frac{1}{\sqrt{2}} {0}\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} {1}\rangle$ ，沒有對應的日常口語，可以說成第一個狀態是 "我 suspect 他在台中，我也 suspect 他在台北"，第二個狀態是 "我 suspect 他在台中，我也 doubt 他在台北"。

複數機率矩陣表示和 tensor algebra 的關係

狀態在矩陣表達方式是一個行向量 $b$，它也對應到一個任意向量 $v$ 到純量 scalar 的線性函數 ${b}\rangle$ 。如果 vector 以一個行向量表示，則這個函數是 $f(v) = \overline{b}^T v$ 。

有兩個複數機率系統，每個系統都只有兩個狀態，都經歷變換， $x_{i j}$ 和 $y_{i j}$ 是複數機率， $a_1$ 和 $a_2$ 是系統一的 base 狀態， $b_1$ 和 $b_2$ 是系統二的 base 狀態。

系統一：

$\begin{aligned}A(a_1) = x_{11} a_1 + x_{21} a_2\\ A(a_2) = x_{12} a_1 + x_{22} a_2\end{aligned}$

系統二：

$\begin{aligned}B(b_1) = y_{11} b_1 + y_{21} b_2\\B(b_2) = y_{12} b_1 + y_{22} b_2\end{aligned}$

例一

寫成矩陣

$\begin{aligned}\begin{bmatrix}A(a_1)&A(a_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} A\\\begin{bmatrix}B(b_1)&B(b_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} B\end{aligned}$

例二

為了知道狀態 $A(a_1)$ 在狀態 $a_2$ 的複數機率要計算 $\langle a_2 | A(a_1) \rangle = \overline{a_2}^T(x_{11} a_1 + x_{21} a_2) = x_{11} \cdot 0 + x_{21} \cdot 1 = x_{21} \cdot A(a_1)$ 這個疊加狀態有 $x_ {21}$ 的複數機率出現在狀態 $a_2$

一個疊加態 $v = q_1 a_1 + q_2 a_2$ ，經過系統一的變換之後的狀態，在狀態 $a_2$ 的複數機率是

$\langle a_2 | A(v) \rangle = \langle a_2 | q_1 A(a_1) + q_2 A(a_2) \rangle = q_1 \langle a_2 | x_{11} a_1 + x_{21} a_2 \rangle + q_2 \langle a_2 | x_{12} a_1 + x_{22} a_2 \rangle = q_1 x_{21} + q_2 x_{22}$

例三

用矩陣語言來說，

$A(v) = A(q_1 a_1 + q_2 a_2) = A\left( \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix}A(a_1)& A(a_2)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}$ 是 $v$ 這個疊加狀態在這個 base 之下的線性組合係數向量表示。

$\overline{a_2}^T \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} = q_1 x_{21} + q_2 x_{22}$

例四

一個疊加狀態 $v = q_1 a_1 + q_2 a_2$ ，經過系統一的變換之後的狀態，在狀態 $u = p_1 a_1 + p_2 a_2$ 的複數機率是

$\begin{aligned}\langle u | A(v) \rangle &= \overline{u}^T \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}= \overline{\begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1\\ p_2\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline{a_1}^T\\ \overline{a_2}^T\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}\end{aligned}$

例五

一個疊加狀態 $s_1 b_1 + s_2 b_2$ ，經過系統二的變換之後的狀態，在狀態 $r_1 b_1 + r_2 b_2$ 的複數機率是

$\begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}$

例六

一個疊加狀態 $q_1 a_1 + q_2 a_2$ ，經過系統一的變換之後的狀態，在狀態 $p_1 a_1 + p_2 a_2$ ，而且，另一個系統二的一個疊加狀態 $s_1 b_1 + s_2 b_2$ ，經過系統二的變換之後的狀態，在狀態 $r_1 b_1 + r_2 b_2$ 。這樣情況的複數機率。

二者個別複數機率相乘：

$\begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}$

Tensor

矩陣的 Tensor product $\otimes$ 的操作是，例如：

$\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}3& 4\\ 5& 6\\-3&-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3&-4\\-5&-6\\3&4\\6&8\\10&12\\-6&-8\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3& 4\\ 5& 6\\-3&-4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3&-4\\6&8\\-5&-6\\10&12\\3&4\\-6&-8\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\end{bmatrix} \equiv 6$

一些 Tensor product 恆等式，$E, R, U, Y$ 是矩陣，對應大小都 compatible，而且規定 $\otimes$ 的運算優先順序比矩陣乘法低，但是比矩陣加法高：

$s$ 是數字， $s R \otimes U = R \otimes s U = s (R \otimes U)$

$E R \otimes U Y = (E \otimes U) (R \otimes Y)$

$(E + R) \otimes U = E \otimes U + R \otimes U$

$U \otimes (E + R) = U \otimes E + U \otimes R$

$U \otimes E \otimes R \equiv U \otimes (E \otimes R) = (U \otimes E) \otimes R$

$(U \otimes E)^T = U^T \otimes E^T$

$\overline{U \otimes E} = \overline{U} \otimes \overline{E}$

所以如果 $u_1, u_2, v_1, v_2$ 是行向量， $\langle u_1 \otimes v_1 |u_2 \otimes v_2 \rangle = \langle u_1 | u_ 2 \rangle \cdot \langle v_1 | v_2 \rangle$

所以另一種看法可以把兩個系統視為同一個系統，但是有四種狀態，整體變換叫做 $C$，定義是：

$\begin{aligned}&\begin{bmatrix}C(a_1 \otimes b_1)& C(a_1 \otimes b_2)& C(a_2 \otimes b_1)& C(a_2 \otimes b_2)\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}a_1 \otimes b_1& a_1 \otimes b_2 &a_2 \otimes b_1& a_2 \otimes b_ 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11} y_{11}& x_{11} y_{12}& x_{12} y_{11}& x_{12} y_{12}\\x_{11} y_{21}& x_{11} y_{22}& x_{12} y_{21}& x_{12} y_{22}\\ x_{21} y_{11}& x_{21} y_{12}& x_{22} y_{11}& x_{22} y_{12}\\ x_{21} y_{21}& x_{21} y_{22}& x_{22} y_{21}& x_{22} y_{22}\end{bmatrix}\\&= \left(\begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1& b_2\end{bmatrix}\right) \left( \begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\ y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \right)\\&= \begin{bmatrix}a_1& a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1& b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\ y_{21}& y_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}$

把例六的答案用 Tensor 展開之後的矩陣表示

$\begin{aligned}&\begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\\&= \left(\begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix}\right) \left(\begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix}\right) \left(\begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\right)\end{aligned}$

許多問題的型式是 $p_1 , p_2 , r_1 , r_2$ 固定，問不同的同時多個向量，這裡是 $\begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}$ ，對應的一個結果數值，而且這個數值相對於個別向量都是線性。所以有些書也把 Tensor 定義成一個對於輸入的諸多向量都線性的函數。如果函數需要 $n$ 個向量當作輸入就叫做 $n$-Tensor，例如例六的答案就叫做 2-Tensor。 一個計算 $n$ 個 quantum bit 系統的某個狀態的複數機率的問題就是個 $n$-Tensor 問題，對應的矩陣大小是 $2^n$ 。

例七

一個疊加狀態 $q_1 a_1 + q_2 a_2$ ，經過系統一的變換之後的狀態，在狀態 $p_1 a_1 + p_2 a_2$ ，而且，另一個系統二的一個疊加狀態 $s_1 b_1 + s_2 b_2$ ，經過系統二的變換之後的狀態，在狀態 $r_1 b_1 + r_2 b_2$ 。這樣情況的複數機率。

疊加狀態 $(q_1 a_1 + q_2 a_2) \otimes (s_1 b_1 + s_2 b_2) = q_1 s_1 a_1 \otimes b_1 + q_1 s_2 a_1 \otimes b_2 + q_2 s_1 a_2 \otimes b_1 + q_2 s_2 a_2 \otimes b_2$

疊加狀態 $(p_1 a_1 + p_2 a_2) \otimes (r_1 b_1 + r_2 b_2) = p_1 r_1 a_1 \otimes b_1 + p_1 r_2 a_1 \otimes b_2 + p_2 r_1 a_2 \otimes b_1 + p_2 r_2 a_2 \otimes b_2$

所以答案是

$\begin{bmatrix}\overline{p_1 r_1}&\overline{p_1 r_2}&\overline{p_2 r_1}&\overline{p_2 r_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11} y_{11}& x_{11} y_{12}& x_{12} y_{11}& x_{12} y_{12}\\x_{11} y_{21}& x_{11} y_{22}& x_{12} y_{21}& x_{12} y_{22}\\ x_{21} y_{11}& x_{21} y_{12}& x_{22} y_{11}& x_{22} y_{12}\\ x_{21} y_{21}& x_{21} y_{22}& x_{22} y_{21}& x_{22} y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1 s_1\\ q_1 s_2\\ q_2 s_1\\ q_2 s_2\end{bmatrix}$

如上 Tensor 性質所述，這也等於 $\begin{aligned}&=\left(\begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix}\right) \left(\begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix}\right) \left(\begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\right)\\&=\begin{bmatrix}\overline{p_1}&\overline{p_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\overline{r_1}&\overline{r_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\end{aligned}$

如果只是想知道轉換之後的狀態在各 base 狀態的複數機率分量：

$\begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}$

衡量這個疊加狀態在 $a_1 \otimes b_1$ 的複數量子機率：

$\begin{aligned}&\overline{a_1 \otimes b_1}^T \cdot \left( \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\right) \\&= \left(\overline{a_1}^T \otimes \overline{b_1}^T \right) \cdot \left( \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\right)\\&= \left(\langle{a_1} \otimes \langle{b_1}\right) \cdot \left( \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix}\right)\\&= \langle{a_1} \cdot \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \langle{b_1} \cdot \begin{bmatrix}b_1&b_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}1& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\\y_{21}& y_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1\\ q_2\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}y_{11}& y_{12}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1\\ s_2\end{bmatrix} \\&= (x_{11} q_1 + x_{12} q_2) \cdot (y_{11} s_1 + y_{12} s_2)\end{aligned}$

計算的結果也是 $p_1 = 1 ,   p_2 = 0 ,   r_1 = 1 ,   r_2 =a_1 \otimes b_1$ 的係數。疊加狀態的 base 狀態是 $a_1 \otimes b_1,a_1 \otimes b_2,a_2 \otimes b_1,a_2 \otimes b_2$

函數 2-Tensor 本身也是個向量空間，base 是 $\overline{a_1}^T \otimes \overline{b_1}^T,\overline{a_1}^T \otimes \overline{b_2}^T,\overline{a_2}^T \otimes \overline{b_1}^T,\overline{a_2}^T \otimes \overline{b_2}^T$

如果有 $n$ 個 quantum bit ，unitary 矩陣和向量的大小是 $2^n$ ，很多時候 Unitary 矩陣的大部分 entry 都是零，所以用 Tensor product 來表示和計算會比較省力，尤其某些 quantum bit 對應的向量部分已經視為常數，畢竟多半都只是算到某個 base vector 的係數，也就是在這個 base 狀態的複數機率 。

例八

U 是個 n quantum bit unitary，Ctrl_U 有兩個輸入，一個是 1 bit 另一個是 $n$ bit。這個 $n+1$ quantum bit unitary 的定義是 $CU\left((\alpha {0}\rangle + \beta {1}\rangle) \otimes \psi \right) = \alpha {0}\rangle \otimes \psi + \beta {1}\rangle \otimes U(\psi)$ 。它的矩陣長什麼樣子?

以 $v$ 表示 $\psi$ 的向量，大小是 $2^n$ 。以矩陣表達輸入 $(\alpha {0}\rangle + \beta {1}\rangle) \otimes \psi$ 是 $\left(\alpha \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} \right) \otimes v = \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix} \otimes v$

以矩陣表達輸出 $\alpha {0}\rangle \otimes \psi + \beta {1}\rangle \otimes U(\psi)$ 是

$\alpha \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} \otimes v + \beta \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} \otimes U v = \alpha \begin{bmatrix}v\\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}0\\U v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}v \alpha\\ U v \beta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I&\\&U\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v \alpha\\ v \beta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I&\\&U\end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix} \otimes v \right)$

所以Ctrl_U 對應的 $2^{n + 1}$ unitary 矩陣是 $\begin{bmatrix}I&\\&U\end{bmatrix}$

例九

U 是個 $n$ quantum bit unitary，Ctrl_U 有兩個輸入，一個是 2 bit 另一個是 $n$ bit。這個 $n+2$ quantum bit unitary 的定義是 $CU\left((\alpha {00}\rangle + \beta {01}\rangle + \gamma {10}\rangle + \delta {11}\rangle) \otimes \psi \right)= \alpha {00}\rangle \otimes U_{00}(\psi) + \beta {01}\rangle \otimes U_{01}(\psi) + \gamma {10}\rangle \otimes U_{10}(\psi) + \delta {11}\rangle U_{11}(\psi)$

它的矩陣長什麼樣子?

以 $v$ 表示 $\psi$ 的向量，大小是 $2^n$ 。以矩陣表達輸入是

$\begin{aligned}&\left(\alpha \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \right) \otimes v \\&= \left( \alpha \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix} \right) \otimes v = \begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \\\delta\end{bmatrix} \otimes v = \begin{bmatrix}v \alpha \\v \beta \\v \gamma \\v \delta\end{bmatrix}\end{aligned}$

以矩陣表達輸出是

$\begin{aligned}&\alpha \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix} \otimes U_{00} v + \beta \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix} \otimes U_{01} v + \gamma \begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix} \otimes U_{10} v + \delta \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix} \otimes U_{11} v \\&= \begin{bmatrix}U_{00} v \alpha\\0\\0\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\U_{01} v \beta\\0\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\0\\U_{10} v \gamma\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\0\\0\\U_{11} v \delta\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}U_{00}&&&\\&U_{01}&&\\&&U_{10}&\\&&&U_{11}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v \alpha \\v \beta \\v \gamma \\v \delta\end{bmatrix}\end{aligned}$

所以Ctrl_U 對應的 $2^{n + 2}$ unitary 矩陣是 $\begin{bmatrix}U_{00}&&&\\&U_{01}&&\\&&U_{10}&\\&&&U_{11}\end{bmatrix}$